Теорема 1.
Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нём своих
наибольшего и наименьшего значений.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 4х - x2 на отрезке
[-1; 4].
Способ 2. Данная функция непрерывна на отрезке [-1; 4], следовательно, она достигает своего наибольшего и наименьшего значений.
Вершина параболы имеет абсциссу x = 2. Так как ветви параболы
направлены вниз, то её наибольшее значение будет достигать в вершине, yнаиб = f(2) = 4.
Решение.Способ 1. Задача имеет решение, так как данная функция непрерывна на отрезке
[-1; 4], следовательно, она достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений. Построим параболу
y = 4х - x2. Для этого заметим, что y = x(4 - x) и, следовательно,
y = 0
при x1 = 0, x2 = 4, т. е. парабола пересекает ось абсцисс в двух точках
(0; 0) и (0; 4). Вершина параболы имеет абсциссу x = 2 и ординату f(2) = 4*2 - 22 = 4.
По трём точкам (0; 0), (2; 4) и (4; 0) построим параболу и возьмём её часть, принадлежащую отрезку [-1; 4].
С помощью графика находим
yнаиб = f(2) = 4, yнаим = f(-1) = -5.
А наименьшее значение, функция будет принимать на одном из концов отрезка [-1; 4].
Находим, f(-1) = -5, f(4) = 0. Так как f(-1) < f(4), следовательно, yнаим = f(-1) = -5.
Тестирующее задание №2
Назад |
На главную страницу | Далее