Теорема 2 (об обращении непрерывной функции в нуль). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и на концах этого отрезка имеет значения разных знаков
f(a)f(b)<0, то внутри отрезка существует такая точка с,
a < c < b, что f(c) = 0, т. е. точка с является корнем уравнения f(x) = 0.

функция f(x) непрерывна, значения f(a) < 0, f(b) > 0
Пример. Доказать, что на отрезке [0; 1/2] находится корень уравнения
3 - х2 + 4х - 1 = 0.
Доказательство. Рассмотрим функцию f(x) = 4х3 - х2 + 4х - 1. Она непрерывна на всей числовой прямой. Вычислим значения функции на концах отрезка, f(0) = -1 < 0, f(1/2) =5/4 > 0, таким образом на концах отрезка функция принимает значения разных знаков, следовательно, в силу теоремы 2, на отрезке [0; 1/2] найдётся такая точка х1, в которой функций
f(x) обратится в нуль. А это означает, что х1 есть корень заданного уравнения.
Замечание. Эта теорема служит основой метода приближённого вычисления корней уравнения - метода "вилки".

Тестирующее задание №3

Назад | На главную страницу | Далее