Теорема 2 (об обращении
непрерывной функции в нуль). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и на концах этого отрезка имеет значения разных знаков f(a)f(b)<0,
то внутри отрезка существует такая точка с, a < c < b,
что f(c) = 0, т. е. точка с является корнем уравнения f(x) = 0.
Пример. Доказать, что
на отрезке [0; 1/2] находится корень уравнения 4х3 - х2 + 4х - 1 = 0.
Доказательство. Рассмотрим функцию
f(x) = 4х3 - х2 + 4х - 1.
Она непрерывна на всей числовой прямой. Вычислим
значения функции на концах отрезка, f(0) = -1 < 0,
f(1/2) =5/4 > 0, таким образом на концах отрезка
функция принимает значения разных знаков, следовательно,
в силу теоремы 2, на отрезке [0; 1/2] найдётся такая
точка х1, в которой функций f(x) обратится
в нуль. А это означает, что х1 есть корень заданного уравнения.
Замечание.
Эта теорема служит основой метода приближённого вычисления корней уравнения - метода "вилки".